Brachystrochronen Problem, Kugelbahn, schnellerwerdende Kugeln?

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Falls sich herausstellen sollte,
dass die Talkugel nach dem Taldurchgang nicht nur früher am Ziel ist,
sondern auch eine höhere Geschwindigkeit als die Ebenenkugel hätte,
hätte der Versuch auch eine Berechtigung hinsichtlich Freier Energie,
da dann die Physik mit dem Energieerhaltungssatz
Probleme hätte und diesen erweitern müsste.

Brachystochronen Problem:

Eine Kugel, die ein Tal durchläuft ist schneller als eine Kugel auf der Ebene am Ziel,
obwohl die Talkugel einen längeren Weg durchläuft..

Auszug aus "Physik in unserer Zeit", 29. Jahrgang 1998 Nr. 2,
Wiley-VCH Verlag GmbH, Seite 86

Ein verblüffendes Experiment

Demonstrationsexperimente, die den Zuschauer verblüffen, sind immer unterhaltsam und meistens sehr lehrreich. Ein sehr einfaches Experiment dieser Gattung heißt bei uns „Which way is faster?", also welcher Weg ist der schnellere? Das Experiment entstammt einer Denksportaufgabe im American Journal of Physics [9 Problem: The unrestrained Tachistos, Am. J. Phys.55, 296 (1987)]

Zwei gleiche Körper gleiten reibungsfrei auf unterschiedlich langen Bahnen,
die vom Start ins Ziel führen.
Die Bahnen beginnen und enden in jeweils gleicher Höhe.
Welcher der beiden Körper kommt als erster im Ziel an?

Physikalische Grundkenntnisse wie Energie- und Impulserhaltungssatz verschleiern eher den Blick: Beide Wege beginnen und enden in gleicher Höhe, also sind die Anfangs- und Endgeschwindigkeiten gleich, also ist die längere Bahn auch zeitlich länger. Tatsächlich ist jedoch die längere Bahn zeitlich kürzer.

Unser Experiment wurde vor Jahren zu einer Fernsehserie [Die Sendung Kopf um Kopf, ein Ratespiel um Wissenschaft, wurde 1971 beim WDR von Hans Ahlborn und Alexander von Cube aus der Taufe gehoben. Die letzte Sendung wurde 1991 ausgestrahlt.] in den Werkstätten des WDR in Bocklemünd gebaut.
Die reibungsfreie Gleitbewegung ersetzten wir durch die rollende Bewegung zweier Kugeln. Abbildung 5 zeigt die Anordnung. Auf der nach unten und dann wieder nach oben verlaufenden Bahn wird die Kugel zuerst durch die Erdanziehung beschleunigt und dann nach oben wieder abgebremst. Die Beschleunigung wirkt sowohl in vertikaler als auch in horizontaler Richtung. Anfangsgeschwindigkeit vor der Mulde und Endgeschwindigkeit hinter der Mulde sind, bis auf geringe Verluste durch die Rollreibung, gleich groß. Das heißt aber, dass die Horizontalgeschwindigkeit im Bereich der Mulde im Mittel größer ist als die Anfangsgeschwindigkeit. Die horizontale Strecke vom Beginn der Mulde bis zu ihrem Ende wird also von der beschleunigten Kugel schneller durchlaufen als von ihrem Partner, der sich mit konstanter Geschwindigkeit auf der kürzeren Bahn bewegt. ...

(Die theoretische Erklärung lasse ich weg, da sie meiner Ansicht nach nicht weiterbringt)

Zwei technische Randbemerkungen geben dem Ganzen noch etwas Würze: •

Bei Radrennen auf ovaler am Rand stark überhöhter Bahn wählen die Fahrer nicht den kürzesten Weg unten, sondern eine Bahnkurve, die abwechselnd hoch und tief liegt.
Sie fahren fast bis zum oberen Rand Bahn und lassen sich dann wieder nach unten stürzen. [10] D. G. Stork, J.-X. Yang, The unrestrained brachistochrone, Am. J. Phys. 54, 992 (1986).

Die durchschnittliche Zeit für eine Radrunde wird dadurch bis zu 15 % kürzer.

Herr Zaphod schreibt mir auf die Frage: "Oder fahren ihrer Meinung nach die Rennfahrer in der Kurve am untersten Rand?"
Ja, natürlich tun sie das! Zumindest soweit es die Zentrifugalkräfte zulassen. Sie können wahlweise mal ein Radrennen ansehen oder Herrn Wolf vom Referat Leistungssport des Bund Deutscher Radfahrer glauben. Der schrieb auf Anfrage:
Es hat sich gezeigt, dass es am sinnvollsten ist, sich am untern Rand zu
bewegen ( ist die kürzeste Strecke ).
Gruß Martin Wolf

Eine Ausnahme ist natürlich der Spurt. Hier versuchen die Fahrer relativ lange Zeit langsam zu fahren, um für die letzten Meter der bessere Ausgangsposition zu haben. Für die eigentliche Rundenzeit ist die längere Strecke jedoch hinderlich. Hier wird natürlich unten gefahren.

Bei der Untergrundbahn in Glasgow liegen die Bahnstationen über der Erde. Die Bahn taucht dann in den Untergrund und kommt bei der nächsten Station wieder nach oben '[Private Mitteilung D. Jones]. Das spart Baukosten und Energie. Beim Erreichen der Stationen muss nicht so stark gebremst werden. Glasgow liegt in Schottland!
Auszug Ende.

Kommentar von Rolf Keppler zur Untergrundbahn:
Die Untergrundbahn in Glasgow spart auf jeden Fall Energie, da die Bremsen beim Hinauffahren auf den Buckel weniger stark betätigt werden müssen im Vergleich zu einer Abbremsung auf ebener Strecke. Daher ist meines Erachtens dieses Beispiel weniger für das Durchleuchten des Brachystronenproblems hilfreich. Es wird immer davon gesprochen, dass die Bremsenergie zurück ins Stromnetz gespeist werden kann. Falls dies bei der Glasgower Untergrundbahn der Fall ist, wäre eine ausgewogene Betrachtungsweise aber noch schwieriger.
Bei der oben geschilderten Untergrundbahn wird ja nicht davon gesprochen, dass die Bahn schneller am Ziel ist, sondern dass weniger Energie benötigt wird.
Dies wird bis jetzt bei dem Brachystronenproblem eigentlich nicht postuliert, wäre aber der interessantere Aspekt, der noch nicht experimentell untersucht ist.

Beide Kugeln befinden sich am Anfang der Mulde

Die Kugel auf der längeren Talbahn hat gerade die tiefste Stelle der Mulde erreicht.

Die Kugel auf der längeren Talbahn ist früher im Ziel angekommen.

Kommentar von Rolf Keppler:
Ich glaube, dass es letzten Endes nicht gemessen worden ist, dass die Kugel nach dem Taldurchgang gleichschnell ist wie die Kugel ohne Taldurchgang. Ich könnte mir vorstellen, dass die Kugel nach dem Taldurchgang messbar schneller ist als die Kugel ohne Taldurchgang.

Dies sollte man mit einer Lichtschranke messen.

Da der Geschwindigkeitsunterschied nicht deutlich sichtbar war, hat man auch nicht gemessen. Man hat nur gesehen, dass die Kugel mit Taldurchgang deutlich früher angekommen ist. Falls man eine Geschwindigkeitsmessung im Auslauf vornimmt, sollte man den Auslauf mit einer Spezialwasserwaage vermessen. Es gibt Spezialwasserwaagen, die auf eine Bogensekunde genau messen können.
Herr Friebe hat mir per eMail mitgeteilt, dass er diesen Versuch auch schon gesehen hat. Bei dessen Versuch ging die Kugel sogar über einen Hügel und diese Hügelkugel war schneller als die Kugel in der Ebene

Ergebnis bei beiden Versuchen war, dass die Kugel, die nur in der Ebene gerollt ist, später angekommen ist.

Folgende mathematische Abhandlung stammt aus dem Buch "Kleine Enzyklopädie - Mathematik", 1972,
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt/M. und Zürich.
Diese Abhandlung ab Seite 747 versucht auf mathematischen Wege eine optimale Kurvenform des oben geschilderten Kugelversuches zu finden.
Anscheinend läuft es darauf hinaus, dass die optimale Kurvenform für die Extremale ein Kreisbogen ist.

Brachystochronen-Problem:

Folgenreicher noch und berühmter war das 1696 von Johann I. Bernoulli (1667-1748) öffentlich gestellte Problem der Brachystochrone.
Wenn zwei Punkte P(1) und P(2) gegeben sind, die auf verschiedener Höhe (aber nicht untereinander) liegen, dann sollte unter allen möglichen Verbindungskurven, auf denen sich ein materieller Punkt unter dem Einfluss der Schwerkraft (ohne Berücksichtigung der Reibung) von P(1) nach P(2) bewegt, diejenige aufgefunden werden, für die die Zeit des Durchlaufens ein Minimum wird.
Dieses Problem beschäftigte seinerzeit die führenden Mathematiker ganz Europas: I. Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 bis 1716), Jakob Bernoulli (1664-1700), Guillaume-Francoise-Antoine L`Hospital (1661-1704), Hudde, Fatio u. a.
Von da an entwickelte sich die Variationsrechnung zu einer speziellen mathematischen Disziplin.

In einem passend gewählten Koordinatensystem sind zwischen den Punkten P(1) und P(2) einige solcher Verbindungskurven y = y(x) als mögliche Fallkurven eingezeichnet (Abb.).

Da in jedem Punkt dieser Kurven der Weg s, die Zeit t und die momentane Geschwindigkeit v durch die Beziehungen v=ds/dt verknüpft sind, da die durch die Erdbeschleunigung g erhaltene Geschwindigkeit den Wert v = sqrt(2g y) hat und das Bogenelement ds schließlich die bekannte Funktion ds=sqrt(1 + y’*y’)dx von y’ und x ist, erhält man die zum Durchlaufen nötige Gesamtzeit T als ein bestimmtes Integral zwischen den Grenzen x(1) und x(2) aus

Dieses Integral soll für eine gesuchte Funktion y(0) = y(0)(x) den kleinsten Wert haben, d. h., sein Wert ist für alle von y(0) verschiedenen Funktionen y*(x) größer. Nach den im folgenden gezeigten Methoden (Lösung der Eulerschen Differentialgleichung) erhält man mit a(=alpha) als Parameter und zwei Konstanten C(1) und C(2) als Lösung die Zykloide

VARIATIONSPROBLEME OHNE NEBENBEDINGUNGEN,
EULERSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG

Die Untersuchung der Brachystochrone hat auf das Problem geführt, eine Funktion y(x) zu finden, für die das Integral über eine zweite Funktion f(x, y, y') einen kleinsten oder größten Wort ergibt; die Funktion f(x, y, y') ist durch die geometrischen, technischen oder physikalischen Gegebenheiten bestimmt und wird Grundfunktion genannt. Im Brachystochronen-Problem ist f(x, y, y')= sqrt(1 + y’*y’) / sqrt(y’) die Grundfunktion. Kennzeichnet man die Forderung nach einem Extremwert durch ein Ausrufezeichen, so soll gelten

Die Grundfunktion hängt ab von der unabhängigen Veränderlichen x, von der gesuchten Funktion y(x) und von ihrer Ableitung y'{x).
Die gesuchte Funktion y(0)(x) wird Extremale genannt.

Seite 748 VARIATIONSRECHNUNG

Das Grundproblem der Variationsrechnung ist eine Maxima- oder Minima-Aufgabe, jedoch von schwierigerer Art als in der Differentialrechnung. Es ist eine Funktion zu ermitteln, für die ein bestimmtes Integral einen größten, oder kleinsten Wert annimmt.

Hatten die Brüder Bernoulli, Newton u. a. nur mit Hilfe spezieller Kunstgriffe das Problem der Brachystochrone gelöst, so konnten Leonhard Euler(1707—1783) und Joseph-Louis Lagrange(1736-1813) sowie Karl Weierstrass (1815-1897), Michail Wassiljewitsch Ostrogradski (1801 bis 1861), Constantin Carathéodóry (1873—1950) u. a. im 19. und 20. Jh. ein stets zum Ziele führendes Verfahren entwickeln.

Euler gelang es, das Variationsproblem auf Differentialgleichungen zurückzuführen. Er ging davon aus, dass alle zur Konkurrenz zugelassenen Funktionen y(x) sich in den Punkten P(1) und P(2) nicht von der gesuchten Extremalen yo(c) unterscheiden dürfen. Er dachte sich y(x) stets zusammengesetzt aus der Extremalen yo(x) und einer Abänderungsfunktion ??(x).

...Hier fehlen mathematische Ausführungen...

. Führt man die totale Differentiation nach x aus, so ergibt sich die berühmte Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung.

Eulersche Differentialgleichung

Sie stellt eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung dar.

Die Forderung, dass ein bestimmtes Integral durch eine Funktion zum Extremwert gemacht wird, durch eine Differentialgleichung für diese Funktion ersetzt. 3«|

Die erste Variation. Die Änderungsfunktion wird nach einer von Lagrange (1755) eingeführten Bezeichnung die Variation ?? der Funktion y(x) genannt:

...Hier fehlen mathematische Ausführungen...

Die bei der Ableitung der Eulerschen Differentialgleichung gefundene notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremwertes des Integrals lässt sich damit so aussprechen, dass die erste Variation verschwinden muss; ?J = 0.

> Weiterungen. Die Grundfunktion f(x, y, y') und damit das Integral J kann anstatt von einer Funktion y(x) von mehreren (endlich vielen) Funktionen y1(x), y2(x), ..., yn(x) und ihren Ableitungen abhängen. An Stelle einer Eulerschen Differentialgleichung ergibt sich dann ein System von n Differentialgleichungen.

...Hier fehlen mathematische Ausführungen...

Als im Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes erhält man die Ostrogradskische Differentialgleichung, eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Ostrogradskische Differentialgleichung

NOTWENDIGE UND HINREICHENDE BEDINGUNGEN FÜR DAS EINTRETEN EINES EXTREMUMS

Unter der Voraussetzung, dass eine Extremale vorhanden ist, muss die erste Ableitung J'(0) verschwinden und die Eulersche Differentialgleichung gelten. Eine solche Bedingung, die für jede Lösung erfüllt sein muss, nennt man eine notwendige Bedingung. Ob eine Lösung vorhanden ist, kann nach einer notwendigen Bedingung allein nicht entschieden werden. Hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremwertes konnte Karl Weierstrass (1815—1897) mit prinzipiell neuen Überlegungen finden. Darauf aber, sowie auf die Führung eines Existenzbeweises, der zeigt, dass überhaupt eine Lösung vorhanden ist, kann hier nicht eingegangen werden. In vielen Fällen begnügt man sich, nachträglich zu untersuchen, ob die Lösung der Eulerschen Differentialgleichung unter den gegebenen geometrischen, technischen oder physikalischen Bedingungen wirklich extremale Eigenschaften hat;

Zwischen zwei Punkten Pi und P»
gibt es keine kürzeste,
nicht geradlinige Verbindungskurve

z. B. zeigt die Anschauung, dass es zwischen zwei Punkten der Ebene keine kürzeste, aber nicht geradlinige Verbindungskurve gibt, da zu jeder Verbindungslinie eine kürzere denkbar ist, die Gerade aber nach Voraussetzung ausgeschlossen sein soll (Abb.).

VARIATIONSPROBLEME MIT NEBENBEDINGUNGEN

x, Häufig treten Variationsprobleme auf, in denen nicht nur das Integral zu einem Extremwert gemacht werden soll, sondern noch zusätzliche Bedingungen erfüllt werden sollen. Solche Bedingungen nennt man Nebenbedingungen.

Die von der Strecke P1P2 und einer Kurve vorgegebenen Länge l
zwischen diesen Punkten umrandete Fläche ist am größten,
wenn die Kurve ein Kreisbogen ist.

Isoperimetrisches Problem.

Will man das Flächenstück •unter der gesuchten Kurve y(x) zu einem Extremwert machen, so muss die Bogenlänge

vorgeschrieben sein, wobei l nicht kleiner als x2-x1 sein darf. Als Lösung dieser Aufgabe, mit einem gegebenen Umfang, der hier aus der Strecke P1P2 (siehe Abb.) und l besteht, eine möglichst große Fläche zu umschließen, ergibt sich der Kreisabschnitt.

Allgemein tritt beim isoperimetrischen Problem zu der Forderung

= Extremwert

noch eine Nebenbedingung in Integralform auf, die verlangt, dass das Integral einer von y und y' abhängigen Funktion g(x, y, y') einen festen, vorgegebenen Wort a hat:

= a

Dieses allgemeine isoperimetrische Problem lässt sich mit der von Joseph-Louis Lagrange (1736 bis 1813) entwickelten Methode der Multiplikatoren auf ein Variationsproblem ohne Nebenbedingen zurückführen. Man bildet aus den gegebenen Funktionen f(x, y, y') und g(x, y, y') mit einem konstanten Multiplikator Lambda die erweiterte Grundfunktion

h (x, y, y') = f(x, y, y') + i g(x, y, y') und löst für sie die Eulersche Differentialgleichung:

Im Beispiel der vorgegebenen Bogenlänge l hat man zu setzen

h(x, y, y') = y + Lambda*sqrt (1 + y'²) und erhält durch Integration der Eulerschen Differentialgleichung

d. h., die Extremalen sind tatsächlich Kreisbögen mit dem Radius |Lambda|.

DIREKTE VERFAHREN

So elegant die skizzierten Methoden der Variationsrechnung auch wirken, so können sich der praktischen Durchrechnung doch erhebliche Schwierigkeiten in den Weg stellen. Insbesondere ist bei zahlreichen Problemen die exakte Lösung der Eulerschen Differentialgleichung schwierig oder überhaupt nicht möglich. Es sind darum Näherungsverfahren entwickelt worden, die, da sie die Eulersche Differentialgleichung umgehen, als direkte Verfahren der Variationsrechnung bezeichnet werden.

Das Verfahren von Ritz (1909); benannt nach Walther Ritz (1878-1909).

Bei J== Extremwert! macht man für die gesuchte Funktion y(x) den Näherungsansatz

y = c1*W1(x) + ... + cn*Wn(x)

wobei die Wi(x) die Randbedingungen erfüllen müssen. Die Aufgabe besteht darin, die konstanten Koeffizienten ci zu bestimmen.

Man setzt y in J= ein und erhält J(c1, . . ., cn) = Extremwert!

Die ci geben sich aus den notwendigen Bedingungen für das Vorliegen eines Extremwertes. l

Beispiel:

Soll = Extremwert! werden und die Lösung die Randbedingungen y(0) = y(1) = 0 erfüllen, so macht man z. B. den Ansatz

W1 = x(1 — x) und W2 = x²(1 — x).

Dann erhält man die Näherungslösung y = (7/41)*x³ -(8/369)*x² + (71/369)*x

Zur Kontrolle findet man in diesem Beispiel über die Eulersche Differentialgleichung die Lösung

y =sinx/sin1 - x

Die Unterschiede zwischen der exakten und der genäherten Lösung liegen nur in der Größenordnung von 10 hoch minus 4.

Weiß jemand noch etwas essentielles über das Brachystochronen-Problem?
Dies kann hier noch veröffentlicht werden.

Das Thema Goldener Schnitt hat etwas mit Ästhetik zu tun. Vielleicht auch mit einer gewissen Optimierung in der Natur. Vielleicht gibt es hinsichtlich dieser Optimierung eine Verbindung zu dem oben genannten Brachystochronen-Problem. Daher folgt nun eine Abhandlung von zum Goldenen Schnitt:

Goldener Schnitt

Ihre Frage nach dem Primat, ob 1,6080339558... oder der Kehrwert 0,6080339558... der für den Goldenen Schnitt zuständige Wert ist, ist durchaus berechtigt. Mir waren beide Werte bekannt, ohne je sagen zu können, welcher ist der richtige. Als ich auf folgende Formel stieß und dazu die grafische Lösung entdeckte, war mir klar, dass der von mir genannte Wert der Richtige sein muss. Die grafische Lösung entspricht den Regeln der pythagoräischen Mathematik und ist lediglich mit Zirkel und Lineal lösbar.

Hier der Text, den ich auszugsweise aus meinem Buch "Die kosmische Sechs", Axel Klitzke, Axel.Klitzke@t-online.de für Sie kopiert habe:

Das reizvolle an dieser Darstellung ist, dass offensichtlich dieser Quotient mit der Zahlenmenge der “1” eine Beziehung hat und sich nur durch eine Abhängigkeit von der Zahl 1 darstellen lässt.

Diese Formel hat mir eine ganze Zeit lang Grübeleien bereitet. Erst nach langer Zeit und etlichem Experimentieren fand ich die grafische Lösung für diese Formel. Es dauerte bis April 2001, bis ich "die Lösung" hatte. Sie erwies sich dann sogar als derart außergewöhnlich, weil sie zu komplexen Qualitätsaussagen führte. Weiterhin spielt sie im Rahmen der ersten Dimension eine entscheidende Rolle, auf die im rechten Moment noch eingegangen wird. Hier die Lösung, die ich des besseren Verständnisses wegen in vier Teilschritten darstellen möchte:

Die Entstehung des Goldenen Schnittes

In diesem Schritt existieren lediglich zwei Punkte, die sich in einer 90°-Beziehung relativ zum Mittelpunkt des Kreises befinden. Ihr gegenseitiger Abstand im Einheitskreis kann gemäß Satz des Pythagoras ermittelt werden.

Im zweiten Schritt gibt es eine Pendelbewegung, welche die vorher entstandene Entfernung zwischen beiden Punkten als Strecke in Richtung Mitte wandern lässt.

Diese erreicht am oberen Punkt den neuen Ort 2₁. Von dort aus wird mit dem Zirkel ein Kreis mit dem Einheitsradius r=1 gezogen, wodurch der Ausgangskreis im Punkte 2₂ geschnitten wird. Die entstandene Strecke 1-2₂entspricht der Wurzel aus

Das ist insofern bemerkenswert, weil das Dreieck 1 - 2₁ - 2₂ kein rechtwinkliges Dreieck ist und doch auf direktem Wege ein Radizieren möglich ist.

Im dritten Schritt wiederholt sich der ganze Vorgang.

Die neu entstandene Strecke pendelt erneut in Richtung diagonaler Mittelachse zum Punkt 2₃, von dem aus die Prozedur mit dem Zirkel den neuen Punkt 2₄ schafft. Auch diese neue Strecke entspricht der Wurzel der nunmehr erweiterten Formel .

Diese Pendelbewegung wird praktisch unendlich mal wiederholt, um der weiter oben zitierten Formel zu genügen. Das Originelle, was nun eintritt ist Folgendes: Der Punkt 2_n "frisst" sich regelrecht an einer Stelle fest. Er wird in seiner weiteren Entwicklung begrenzt. ... oder mit anderen Worten, seine weitere Entwicklung wird unterdrückt. Diese Wortwahl wurde nicht ohne Grund getroffen. Der nachfolgenden Schritt sieht dann wie folgt:

Nach kurzem Betrachten ist auf dem zweiten Blick zu sehen, dass eine sehr interessante Winkelkonstellation eingetreten ist. In Verbindung mit einem neu zu schaffenden dritten Punkt entstand ein rechtwinkliges Dreieck, dessen eine Seitenlänge genau der Proportion des Goldenen Schnittes entspricht. Die abgewandte Seite b ist jedoch keinesfalls uninteressanter. Diese Seite hat eine Länge von und entspricht exakt der Länge einer Fünfeckseite (!). Dieser Zusammenhang ist im Bild letzten nochmals verdeutlicht worden.

Die mathematische Lösung für das Entstehen vonF innerhalb des Kreises beweist nach 10 Schritten eine Genauigkeit auf 4 Stellen hinter dem Komma, nach 20 Schritten bereits auf 9 Stellen hinter dem Komma, bis der Wert beim n-ten Schritt mit F identisch ist.

Schritt

Abstand

10.

1,41421356237310

1,55377397403004

1,59805318247862

1,61184775412525

1,61612120650812

1,61744279852739

1,61785129060968

1,61797753093474

1,61801654223149

1,61802859747023

1,61803398874990

Mit dem Erreichen von tritt gleichzeitig der Effekt ein, dass der Innenwinkel exakt die Größe von 36° annimmt.
Der Beweis erfolgt mit Hilfe des Kosinussatzes in dem endgültigen Dreieck mit den Punkten 2_n-1-2_n-1.

Aus der Formel folgt nach Umstellung .
Dieser Betrag entspricht genau einer Winkelgröße von 36°.

.... Das Ergebnis lässt sich auch wie folgt als Grafik zusammenfassen:

Bild 11: Fünfeck und Goldener Schnitt

Weiterhin schreibt mir Herr Klitzke:

Da meine eigene Homepage aktuell noch in Vorbereitung ist (der Name ist " www.hores.org ") und Mitte Mai 2002 zur Veröffentlichung vergehen, habe ich nichts dagegen, wenn sie meine Ausführungen auch aktuell auf Ihrer Seite veröffentlichen.

In meiner Homepage werde ich große Teile meines Buches als Auszug wiedergeben (ARGO-Verlag; ISBN 3-9807519-4-5; 355 Seiten). In der Anlage füge ich Ihnen noch die Gliederungspunkte des Buches hinzu.

Wenn Sie den Text in Ihrem Rundbrief einfügen, sollte der Hinweis enthalten sein, dass auf Ihrer Homepage die zum Verständnis erforderlichen Grafiken enthalten sind und meine eigene Homepage etwa Mitte Mai zur Verfügung steht. Ebenso sollte der Satz eingefügt sein, dass diese Lösung zu einer geometrischen Trinität führt, in welcher der goldene Schnitt, der rechte Winkel und das Pentagramm vereint auftreten.

Für Sie zum besseren Verständnis noch der Hinweis, dass aus dieser Lösung der folgende geistige Inhalt ableitbar ist:

Der rechte Winkel ist das Maß, Polaritäten im Bewusstsein des Menschen in einer goldenen (=göttlichen!) Proportion zu vereinen.

Da ich mich auch mit Numerologie sehr intensiv beschäftigt habe, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass hinter dieser "Wissenschaft" das grundlegende Verständnis liegt, kosmische Prozesse verstehen zu können. Ich habe auch heraus gefunden, warum das so ist und wie sich Qualitäten und Quantitäten in einem gemeinsamen kosmischen Prozess entwickeln. Letztendlich führen meine Erkenntnisse zum Verstehen darüber, wie höhere Schwingungsdimensionen bis hin zur 12. entstehen. Mit der Vollendung dieser Dimension (das ist keine numerische oder geometrische Dimension!) entsteht eine Super-Holographie, die ich in ihrer Wirkungs- und Entstehungsweise auch mathematische beschreibe.

Summa sumarum ist das Buch der erste Versuch, Wissenschaft, Mythologie und Religion wissenschaftlich miteinander zu verknüpfen und zu erklären, wie der Schöpfer unser Universum einschließlich der Felder der Materie und der Antimaterie erschaffen hat.

Insgesamt ist das Buch – salopp formuliert – auch für mich eine Überraschung, denn ich hätte nie geahnt, dass ich dass alles einmal heraus bekomme. Aber mit 54 Jahren ist man halt etwas reifer und die heutige Zeit auch reif dafür, so etwas zu erkennen.

Hinsichtlich des Brachystronen-Problems:

Die Problematik selbst ist äußerst interessant, zumal ich diesen Effekt auch beim Autofahren mittels Bordcomputer schon registriert habe. Ein kurzer Berg mit steiler Steigung und anschließender lange Gefällestrecke mit geringer Neigung verursacht weniger Spritverbrauch als umgekehrt. Vielleicht können Sie mir die komplette Seite nochmals zukommen lassen.

A. Klitzke

Inhaltsverzeichnis "Die kosmische Sechs"

Axel Klitzke, ARGO-Verlag; ISBN 3-9807519-4-5; 355 Seiten

Vorwort: Von der Vergangenheit zur Zukunft

1. Das Sexagesimalsystem der Sumerer und seine Geheimnisse

2. Vom Wissen der Neophyten im alten Ägypten

2.1. Der Einweihungsweg im alten Ägypten

2.2. Der Stern der Einweihung

2.3. Zahlengeheimnisse im Stern der Einweihung

3. Irrwege sind menschlich-Methodik ist besser

4. Die Erkenntnis führt zur Spirale

4.1. Auch Spiralen benötigen eine Gliederung