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Wenn man bedenkt, wie groß der Erdradius R im Vergleich zu den Gevierten des Geradstreckenverlegers ist, gelangt man unweigerlich zur Frage nach der Genauigkeit dieses Versuchs.

Stellt man zwei der Gevierte (Länge l, Höhe h) nebeneinander, aber tangential zur Erdoberfläche, so bleibt an einer Seite ein Spalt d (auf der Vollkugel oben, in der Hohlkugel unten), für den der Strahlensatz liefert

d = l*h/R

Mit l = 3.6 m, h = 1.2 m und R =6370 km kommt man auf einen Wert von d = 678 nm, also im Bereich der Wellenlänge des roten Lichts. Es ist klar, dass kein noch so genau gefertigte Holzkonstruktion diese Genauigkeit gewährleisten kann. Aber...
Diese extrem kleine Ungenauigkeit würde nur dann zu Buche schlagen, wenn sie jedes Mal in die selbe Richtung wirken würde, es sich also um einen systematischen Fehler handeln würde. 
Diese systematischen Fehler wurden jedoch laut Versuchsprotokoll durch Wenden der Gevierte bei jeder zyklischen Montage ausgeschlossen.
Es stellt sich nun die Frage, wie groß der unsystematische Messfehler f sein darf. 
Sei f also die Unsicherheit in der Höhe eines Gevierts bei jeder Justage. Die Statistik lehrt, dass der typische Gesamtfehler nach N Montagen dann f*sqrt(N) beträgt. 
(sqrt(N) bedeutet Quadratwurzel aus N)

Für uns ist 
N = 4.83 km/3.6 m = 1342
sqrt(N) = 36.6
Bei einer angegebenen Genauigkeit von f = 0.2 mm wären also ein typischer Gesamtfehler von weniger als einem Zentimeter zu erwarten.

Sogar bei f = 1 cm wäre der Gesamtfehler noch klein im Vergleich zu den zu messenden Längen. Als weitere Quelle systematischer Fehler wäre noch ein Einsinken der Montagegestelle in den Sand zu betrachten. Doch um bei 1342 Montagen auf eine Abweichung von Metern zu bekommen, müsste diese Einsinktiefe im Bereich von einem Millimeter liegen, was aber sicher bemerkt worden wäre. Außerdem wäre die sich ergebende Kurve NICHT gekrümmt und daher nicht in der Lage das Versuchsergebnis zu erklären.

Mit einer unzureichenden Genauigkeit lässt sich das Ergebnis des Versuches also nicht erklären.

[1] Seite 99; Abschnitt 11, Kleindruck: a complete system of reversals of the sections...
Ein vollständiges System von Wendungen der Abschnitte (Gevierte) korrigiert irgendwelche mögliche Abweichungen oder Ungenauigkeiten der rechten Winkel in den Querarmen.

Abschnitt 13: In trial surveys....
In Vorversuchsmessungen einer gegebenen Entfernung und deren Rückmessung, kamen die Haarlinien Achse (Fadenkreuz) genau zum Fadenkreuz der Messingplatte zurück welche an der fest verankerten Meßlatte am Anfangspunkt gelegen war. ....

[2] Seite 102, Abschnitt 2, Zeile 7:
... and each section was reversed, end for end, and turned over 50 times......
und jedes Geviert wurde Ende zu Ende gewendet und über 50 mal auf der Spezialbühne gedreht, wo mechanische Geräte zum Messen und Vergleich zur Verfügung standen.

[3] Seite 103, Abschnitt 1, Zeile 5: The Check Record Books of the Staff show that this system of reversals was faithfully applied throughout the entire line of survey.
Die Prüf- und Aufzeichnungsbücher des (Vermessungs) Stabes zeigen, dass dieses System von Umwendungen auf der ganzen Vermessungslinie gewissenhaft ausgeführt wurden. 

[4] Seite 138, Abschnitt 2, Zeile 8: The method employed to insure further accuracy, was by making the apparatus neutralize its own inaccuracies by reversal or turning-over of each section at every alternate adjustment.
Die Methode, die angewandt wurde, um weitere Genauigkeiten zu erreichen, war die Neutralisierung der eigenen Ungenauigkeiten des Gerätes durch Umwenden und Umdrehen jedes Gevierts bei jeder abwechselnden Justierung.

Diese Berechnung geschieht unter der Annahme dass die Erde eine Vollkugel sei. Falls die Erde eine Hohlkugel ist, gäbe h an, um wieviel  sich die Seemitte (M) tiefer als die Uferrändern bei Friedrichshafen (A) und Romanshorn (B) befinden.  Falls wir in einer Innenwelt leben, gibt h an, um wieviel tiefer sich die Seemitte (M) befindet.

Den Bogen und die Entfernung Ab = 11 km von Friedrichshafen nach Romanshorn habe ich einer Bodenseekarte im Maßstab 1:100000 entnommen. 
Den mittleren  Erdradius r = 6371 km habe ich den mathematischen Tafeln / Sieber   entnommen. (<a bedeutet Winkel alpha).

Verwendete Formeln:
b = 0,5 * 11 km = 5,5 km = r*<a 
Es gilt exakt:
cos<a = (r-h)/r = 1-h/r  (1)
<a = b/r (Bogenmaß)   (2)
Im Zubehör von Windows 95 und 98 gibt es einen "Taschenrechner", den man von Standard auf wissenschaftlich umstellen kann. Im wissenschaftlichen Bereich kann man auch die trigonometrischen Funktionen eingeben. Der Rechner rechnet auf 32 Stellen. 
Damit im Bogenmaß gerechnet wird, muss ein Punkt bei Rad anstatt bei Deg gemacht werden. (Deg steht für Gradmaß). 

Gleichung (2) in (1) eingesetzt: cos(b/r) = 1 - h/r

Nach h aufgelöst: h = r-r*cos(b/r) 

h = 6371 km - 6371 km*cos 5,5 km/ 6371 km  (im Bogenmaß rechen!)

h = 6371 km - 6371 km*0,999999627368001095

h = 6371 km - 6370,99762596153497 km

h = 2,374 m

Ergebnis: Die Seemitte h des Bodensees befindet sich 2,37 m höher als die Uferränder bei Friedrichshafen und Romanshorn. Falls wir in einer Innenwelt leben, befindet sich die Seemitte 2,37 m tiefer als die Uferränder. 
Die oben beschriebenen mathematischen Formeln entsprechen exakt den geometrischen Gegebenheiten. 
Desto größer die Entfernungen, desto ungenauer werden Näherungsformeln. 

Aus der Zeichnung  ist ersichtlich, dass eine Näherungsfunktion, die die Entfernung auf gerader Linie zwischen A und B misst,   nicht exakt mit den geometrischen Gegebenheiten übereinstimmt. Die Entfernung der Orte A und B befindet sich auf einem Bogen. Deshalb muss auch der Bogen in die Formel einfließen. Die Entfernung zwischen Stuttgart und  New York misst man auch auf einem Bogen (Erdoberfläche) und nicht durch die Erde hindurch.

Anwendung für den Bodensee

Um die arccos-Funktion einzustellen muss ein Häkchen bei  "Inv"  im Windos 95/98 Rechner gemacht werden und dann darf erst auf cos geklickt werden.

b = 6371 km * arccos(1- 0,002374 km/6371 km)

b = 6371 km * arccos(0,999999627374038612462721707738189)

b = 6371 km * 8,63279774498654745906970633306246e-4

b = 5,4999554433309293861733099047941 km

was den 5,5 km bis zur Seemitte entspricht.

In dem Buch von Johannes Lang wird beschrieben, dass ein Flieger in 7 km Höhe nur 296 km hätte weit sehen dürfen. Tatsächlich konnte er einen Berg 533 km Entfernung sehen.

Nachrechung für h = 7 km

b = 6371 km * arccos( 1 - 7 km/ 6371 km)

b = 6371 km *arccos 0,99890127138596766598650133417046

b = 6371 km * 0,0468813368786567882833121612823609

b = 298 km

Ergebnis bestätigt. Die Differenz von 2 km kommt daher zustande, weil im Buch von einem minimal anderen Erddurchmesser ausgegangen wird.

Ein Leser meiner Homepage schrieb mir:

habe fasziniert Deine Homepage studiert, mir fiel auf, dass Du mit keinem Wort erwähnst, wie die Erde aus einem Flugzeug in 10 - 12 km Höhe aussieht. Da ist doch eindeutig eine Krümmung zu erkennen! Oder sollen das etwa auch nur gekrümmte Lichtstrahlen in großer Höhe sein?

Als ich (Rolf Keppler) selber mal mit dem Flugzeug über Italien flog, schaute ich links und rechts aus dem Flugzeug. Ich hatte den Eindruck, als ob der Horizont links und rechts in Augenhöhe sei. 
Ich dachte, dass in 10 km Flughöhe der Wasserhorizont  tiefer erscheinen müsste, falls wir auf einer Vollkugel leben. 

Rein rechnerisch müsste der Wasserhorizont in  10 km Höhe 3,2 Grad tiefer erscheinen. Es ist die Frage, ob man diese 3,2 Grad subjektiv erfassen kann.   Man könnte ja einen Theodoliten mit ins Flugzeug nehmen und links und rechts zum Fenster hinausvisieren.

In diesem Zusammenhang zitiere ich nun aus dem Buch von Johannes Lang, Bücherliste, über die Unzuverlässigkeit der geodätischen Messungen, auszugsweise aus den Seiten 165 bis 170:
Wie steht es nun mit der geodätischen Messung der angeblichen Konvexkrümmung mit dem "Präzisionstheodoliten"?...
Es wird nun von allen Autoritäten zugegeben, dass man noch nicht über eine zuverlässige Refraktionsmethode verfügt. Nachfolgend zwei Zitate: 
Prof. Fr. Wünschmann schreibt im "Handbuch der physikalischen Optik" (Leipzig 1927), Seite 273: "dass die Geodäsie, sehr zum Nachteile der Feinbeobachtungen insbesondere zu wissenschaftlichen Zwecken, auch heute noch nicht über eine einwandfreie Refraktionsmethode verfügt."
Prof. Eggert sagt in "Jordan/Eggert, Handbuch der Vermessungskunde", Band III, Seite 796 (7. Auflage, Stuttgart 1923) "... ist die Refraktionstheorie doch zur Zeit noch nicht zur genügenden Berücksichtigung der Strahlenbrechung ausreichend."
Nun kommt das Interessanteste. Nach Professor Dr.-Ing. Hohenner beschreibt der Lichtstrahl infolge der Refraktion zwischen zwei Punkten A und B eine gegen die Erdoberfläche konkave Kurve. Er fährt dann Seite 249 fort: 
"Für gewöhnlich darf erfahrungsgemäß die Lichtkurve AB als Kreisbogen mit dem Radius R1= R/k betrachtet werden." 
Unter k ist die so genannte Refraktionskonstante und unter R der Erdradius zu verstehen.
Aus Seite 250 bringt er eine Tabelle der Korrektion, die sich aus der Benutzung des Gaußschen Wertes für k (0,13) ergibt.

Professor Dr.- Ing. Hohenner gibt die Berechnungsformeln für die "Trigonometrische Höhenberechnung mit Berücksichtigung der Erdkrümmung und Strahlenbrechung" an und sagt am Schlusse mit dankenswerter Kürze und Klarheit: "Die Strahlenbrechung wirkt also der Erdkrümmung entgegen".
Es gilt also klar herauszustellen: Die lediglich eine Annahme darstellende Refraktion ergibt gegenüber der Geraden fast genau dieselben Differenzen wie die angeblich konvexe Erdkrümmung, gleicht sie also fast völlig aus, was Prof. Dr.-Ing. Hohenner in dem oben zitierten Satz ja auch klar zum Ausdruck bringt. ...

... Hier gibt also der Fachmann selbst zu, dass die "physikalischen Verhältnisse" nicht erklärt sind und es sich bei der Refraktion lediglich um eine "mathematische Interpolationsformel" handelt. Wie es aber um deren Brauchbarkeit bestellt ist, zeigt folgende Angabe von Prof. Wünschmann auf Seite 279 des genannten Werkes, die sich auf das so genannte "geometrischen Nivellement bezieht:

"Der Krümmungsradius des Lichtstrahls ist gewöhnlich kleiner als der Erdradius, während er im Falle der allgemeinen irdischen Strahlenbrechung das Sieben- bis Achtfache desselben beträgt."

Je nach Bedarf kann man also eine Krümmung des Lichtstrahls durch die Refraktion im Betrage der Erdkrümmung oder auch 7 bis 8 mal weniger annehmend. Dass man trotzdem derartige Messungen ausführen kann, beruht lediglich darauf, dass man nur kurze Zielweiten nimmt und die Strecke daraus zusammensetzt. Selbst dann stimmen die Ergebnisse nicht überein.
Auf Seite 239 seines schon genannten Werkes bringt Prof. Dr.-Ing.Hohenner ein Beispiel, wo bei nur 35m langen Zielweiten und einer Ablesung bis auf einen halben Millimeter erhebliche Widersprüche unter den einzelnen Resultaten vorhanden sind. Prof. Dr.-Ing. Hohenner schreibt wörtlich auf Seite 240: 
"Diese Widersprüche müssen durch Ausgleichung beseitigt werden." 
Dies geschieht bekanntlich durch die "Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate". 
Eigentlich werden die Fehler mittels dieser Rechnung aber nicht "beseitigt", sondern nur "verteilt".
So sieht es also auf dem Gebiete der geodätischen Messungen aus, mit denen nach dem "Kosmos" die konvexe Erdkrümmung "bewiesen" wird....
Immerhin wird durch die geodätischen Messungen eines wirklich bewiesen, nämlich, dass sich der Lichtstrahl überhaupt krümmt. Ob er sich konkav oder konvex zur Erdoberfläche krümmt, vermag die Geodäsie mit ihren  zur Zeit angewandten Hilfsmitteln nicht zu entscheiden. ...
Würden die Geodäten nur ein einziges Mal (in einem Falle) die wirkliche Krümmung des Lichtstrahls messen, dann hätten sie die eingestandenermaßen fehlende Krümmungstheorie und könnten hinfort mit zuverlässigen Werten rechnen, die ein für allemal feststünden und in jedem Falle anwendbar wären. Mit Hilfe des Geradstreckenverlegers wäre eine solche Messung ohne weiteres möglich.
Zitat Johannes Lang Ende.

Der Vorschlag von Herrn Heckert ist ja sehr interessant, aber wie Sie ganz richtig erkannt haben, undurchführbar. 
Ich war im Sommer 1951 als Techniker der Abteilung Photogrammetrie im Montafongebiet (Vorarlberg) unterwegs um neue Signale zu setzen. 
Unsere Aufgabe war es, vor den photogrammetrischen Aufnahmen die verschiedenen Berggipfeln der österreich-schweizerischen Staatsgrenze triangulativ zu erfassen, um daraus dann die für die obige Aufnahmen erforderlichen Basispunkte besser bestimmen zu können. 
Die zu überbrückenden Entfernungen betrugen, so weit ich mich erinnern kann, zwischen 15 und 30 Kilometer, trotzdem war die Winkelsumme nie exakt 180 Grade oder, damals wurden die Neugrade eingeführt, 200 Neugrade groß. 

Als ergänzendes Beispiel bringe ich im 2. Teil meines Buches eine Höhenmessung des höchsten Berges Russlands, der im Zuge der im Jahre 1928 stattgefundenen wissenschaftlichen Exkursion im Hochland von Pamir vorgenommen wurde. 
Der Berg Pik Carmo wurde von 8 verschiedenen Beobachtungsstationen anvisiert. Die kürzeste Entfernung betrug 26,7 km, die weiteste 45,9 km. 
Dabei zeigte es sich, dass die Höhe des Carmo, trotz Berücksichtigung der Erdkrümmung und Refraktion zwischen 7490,2 m und 7511,2 m schwankte. 
Das ist immerhin ein Wert von 21 Meter. 
2 diesbezügliche Tabellen mit den Angaben: Ausgangspunkt, Entfernung, Höhe des Ausgangspunktes, gemessener Höhenunterschied, Erdkrümmung , Refraktion und gemessene Höhe des Pik Carmo finden Sie im 2. Teil von "Braucht die Menschheit ein neues Weltbild?". 
Ferner bringe ich die Gaußschen Ausführungen zum Thema Sphärischer Exzess wörtlich wieder um etwaigen Kritiken zuvor zu kommen. 
Lieber Herr Keppler: Ich sehe keine Möglichkeit aus dem Hinweis von Herrn Heckert einen sinnvollen Versuch zu machen. Wir müssen also versuchen mit anderen Experimenten das Rätsel zu lösen. ...

Mein Kommentar: Die Differenzen der Höhenmessungen lassen sich teilweise mit dem Versuch von Nobelpreisträger Maurice Allais erklären:
Nach seinen Messungen bewegt sich der Lichtstrahl innerhalb 24 Stunden auf eine Entfernung von 8,3 m um 1,5 mm. Auf eine Entfernung von 8,3 km würde er sich um 1,5 m bewegen. Bei 33 km wären dies 6 m. Aus dieser Hochrechnung bis 33 km sollte man nicht auf irgendeine Geradlinigkeit schließen. Auch ein gekrümmter Lichtstrahl kann sich auf eine Entfernung von 33 km um 6 m bewegen. Da die Beobachtungen sicherlich nicht zur gleichen Zeit getätigt wurden, kann unter anderem eine derartige Lichtbewegung die Triangulationsmessungen beeinflussen.